Із точки К до площини a проведено дві рівні похилі МК і КР, кут між якими дорівнює 60°. Знайдіть кут між похилою МК та її проекцією на площину а, якщо проекції похилих утворюють кут 120°

Ответ:

∠КМО = arccos(√3/3) ≈ 54,8°.

Объяснение:

Так как наклонные МК и КР равны, а угол между ними равен 60°, треугольник МКР - равносторонний и МР = МК=КР.

Пусть МР = р. Опустим перпендикуляр МО на плоскость а.

Тогда треугольник МОР равносторонний (так как проекции равных наклонных равны), МО=ОР. Высота этого треугольника ОН является и медианой, и биссектрисой (свойство равнобедренного треугольника). Тогда в прямоугольном треугольнике НОР катет НР равен р/2, а гипотенуза ОР = 2·ОН, так как катет ОН лежит против угла ОРН = 30° (по сумме острых углов прямоугольного треугольника).

По Пифагору МО²-ОН² = HР²  =>

4x² -x² = p²/4  => x = р/√12 => MO = 2x = р√3/3.

В прямоугольном треугольнике ОКМ угол КМО - искомый угол.

Cos(∠KMO) = ОМ/КМ  =  (р√3/3)/р = √3/3.

∠КМО = arccos(√3/3) ≈ 54,8°.