Решите тригонометрическое уравнение. срочно.

Ответ

Автор - smurfel

$2sin^{2}x-cos^{2}x*sinx=0\$

Используем основное тригонометрическое тождество :

Отсюда получаем, что $cos^2x=1-sin^2x$

Подставляем это в уравнение, и получаем:

$2sin^2x-(1-sin^2x)*sin^x=0$

Далее открываем скобки и решаем уравнение:

$2sin^2x-sin^x+sinx^3=0$

Разложим на множители:

$sinx(2sinx-1+sin^2x)=0$

Получаем два уравнения:

$left { {{sin x = 0} atop {sin^x-1+sin^2x}} right.$

Первое простейшее тригонометрическое уравнения, где получаем, что x = arcsin(0); x =πk

Второе тригонометрическое уравнение решим через замену :

$sinx-1+sin^2x=0\t=sinx\t-1+t^2=0\D=b^2-4ac=(-1)^2-4*(-1)*1=1+4=5; D>0\$

$left { {{t_{1} =frac{1-sqrt{5} }{2} } atop {t_{2}=frac{1+sqrt{5} }{2}}} right.$

Возвращаемся к замене sinx = t, получаем

x = $(-1)^{k}$ arcsin( $frac{1+-5}{sqrt{2}}$ )+πk;

Ответ: x = πk, x = $(-1)^{k}$ $arcsin(frac{1+-5}{sqrt{2}})$ +πk; k ∈ Ζ.