Y''+y=x³+6x, y(0)=y'(0)=0

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Решаем соответствующее однородное дифференциальное уравнение

$y''+y=0$

Пусть $y=e^{kx}$ , мы перейдем к характеристическому уравнению

$k^2+1=0\ k^2=-1\ k=pm i$

Общее решение однородного диф. уравнения:

$y^*=C_1cos x+C_2sin x$

Найдем частное решение. Рассмотрим функцию $f(x)=e^{0x}(x^3+6x)$ . И обозначим $P_n(x)=x^3+6x$ здесь $n=3$ и $alpha =0$ . Сравнивая α с корнями характеристического уравнения и, принимая во внимая, что n = 3, частное решение будем искать в виде:

$overline{y}=Ax^3+Bx^2+Cx+D$

Найдем первую и вторую производную

$y'=3Ax^2+2Bx+C\ y''=6Ax+2B$

Подставляем теперь все это в исходное диф. уравнение

$6Ax+2B+Ax^3+Bx^2+Cx+D=x^3+6x\ \ Ax^3+Bx^2+(6A+C)x+2B+D=x^3+6x$

Приравниваем коэффициенты при степенях x

$begin{cases}&text{}A=1\&text{}B=0\&text{}6A+C=6\&text{}2B+D=0end{cases}~~~Rightarrow~~~begin{cases}&text{}A=1\&text{}B=0\&text{}C=0\&text{}D=0end{cases}$

Частное решение: $overline{y}=x^3$

Общее решение линейного неоднородного диф. уравнения:

$y=y^*+overline{y}=C_1cos x+C_2sin x+x^3$

$y'=(C_1cos x+C_2sin x+x^3)'=-C_1sin x+C_2cos x+3x^2$

Найдем частное решение, подставляя начальные условия

$begin{cases}&text{}0=C_1\&text{}0=C_2end{cases}$

Ответ: $y=x^3.$

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения