Ребят , кто может, прошу помогите с высшей матем-кой.. очень нужно , 100 баллов

Ответ

Автор - Tanda80

Значит, так
основная, формула, которая позволяет вычислить площадь криволинейной трапеции имеет вид
$s = int _ {a}^{b} f(x)dx$
В Вашем случае, функция f(x) задана параметрическими уравнениями : {х=x(t), y=y(t), t0<=t<=t1} и основная формула принимает вид
$s = int _ { t_{0} }^{ t_{1} } y(t) x prime(t)dt$
Подставляем в последнюю формулу данные из условия задачи:
$s = int _ {0}^{ frac{pi}{4} } 4(1 - cos{t}) (4(t - sin{t})prime dt = \ = 16 int _ {0}^{ frac{pi}{4} } (1 - cos{t})(1 - cos{t})dt = \ = 16 int _ {0}^{ frac{pi}{4} } {(1 - cos{t}})^{2} dt =$
$= 16 int _ {0}^{ frac{pi}{4} } (1 - 2cos{t} + { cos }^{2} {t} )dt = \ \ = 16 int _ {0}^{ frac{pi}{4} } (1 - 2cos{t} + frac{ 1 + cos{2t} }{2} )dt = \ = 16 int _ {0}^{ frac{pi}{4} }( frac{3}{2} - 2 cos{t} + frac{ cos{2t}}{2} )dt = \ = 8(3t - 4 sin{t} + frac{1}{2} sin{2t}) | _ {0}^{ frac{pi}{4} } = \ = 8( frac{3pi}{4} - 2 sqrt{2} + frac{1}{2} ) = \ = 6pi - 16 sqrt{2} + 4$

При вычислении интеграла использовали формулы: квадрат разности, понижение степени косинуса и табличные интегралы.