Решите неравенство

Ответ

Проверено экспертом

Автор - xERISx

$Big(x^2-1Big)^{x+3}<Big(x^2-1Big)^{2x-4}$

Так как обе части неравенства - это степени с одинаковым основанием, то решение неравенства зависит от значения основания степени.

1) Если a > 1 и aᵇ < aⁿ, то b < n; b,n∈R

$x^2-1>1;~~~x^2>2\|x|>sqrt2~~Rightarrow~~boldsymbol{xin(-infty;-sqrt2) cup (sqrt2;+infty)}\\Big(x^2-1Big)^{x+3}<Big(x^2-1Big)^{2x-4}\\x+3<2x-4;~~Rightarrow~~ x>7;~~Rightarrow~~~ boxed{boldsymbol{xin(7;+infty)}}$

2) Если a = 1 , то aᵇ = 1 ; b∈R

$x^2-1=1;~~x^2=2;~~x=pmsqrt2\1^{x+3}<1^{2x-4}~~Rightarrow~~1<1$

Получилось неверное неравенство, значит, $xneq pmsqrt2$

3) Если 0 < a < 1 и aᵇ < aⁿ, то b > n; b,n∈R

$0<x^2-1<1;~~~1<x^2<2\1<|x|<sqrt2~~Rightarrow~~boldsymbol{xin(-sqrt2;-1) cup (1;sqrt2)}\\Big(x^2-1Big)^{x+3}<Big(x^2-1Big)^{2x-4}\\x+3>2x-4;~~Rightarrow~~ x<7;~~Rightarrow~ boxed{boldsymbol{xin(-sqrt2;-1) cup (1;sqrt2)}}$

4) Если a = 0 , то aᵇ = 0 ; b∈R{0}

$x^2-1=0;~~x^2=1;~~x=pm1\0^{1+3}<1^{2cdot0-4} ~~Rightarrow~~0<0$

Получилось неверное неравенство, значит, $xneq pm1$

5) Если a < 0, то возводить отрицательное число можно только в целую степень, то есть aᵇ имеет смысл при b∈Z.

Показатель степени (x+3) будет целым при любом целом значении x.

$x^2-1<0;~~~x^2<1\|x|<1~~Rightarrow~~ boldsymbol{xin(-1;1)}$

В этом интервале есть только одно целое число x=0. Проверка :

$Big(x^2-1Big)^{x+3}<Big(x^2-1Big)^{2x-4}\\Big(0^2-1Big)^{0+3}<Big(0^2-1Big)^{2cdot 0-4}\\ big(-1big)^3<big(-1big)^{-4}\\ -1<dfrac1{big(-1big)^4} ~~Rightarrow~~-1<1~~Rightarrow~boxed{boldsymbol{x=0}}$

Объединив все полученные решения, получим

$boldsymbol{xin(-sqrt2;-1) cup{0}cup (1;sqrt2)cup(7;+infty)}$

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения

решите неравенство ​

Ответ

Проверено экспертом

решите неравенство