Фигура F задаётся на координатной плоскости неравенством $2pi -arcsin(y-x)-arccos(x+y)geq 0$ . Чему равна площадь фигуры F?

Ответ

Автор - igorShap

Ответ: 2

$arcsin alpha in [-dfrac{pi}{2};dfrac{pi}{2}],arccosalpha in [0;pi] ::forall alpha in R=>arcsin(y-x)+arccos(x+y)leq dfrac{3pi}{2}=>2pi-arcsin(y-x)-arccos(x+y)geq 2pi-dfrac{3pi}{2}>0$

То есть неравенство верно для всех действительных значениях переменных, удовлетворяющих области определения. Найдем ее:

$left { {{-1leq y-xleq 1 } atop {-1leq x+yleq 1}} right.=>left { {{x-1leq yleq x+1 } atop {-1-xleq yleq 1-x}} right.$

Построив 2 области и найдя их пересечение, получим область, расположенную на прикрепленном изображении на пересечении черной и красной областей (1ое и 2ое соот-но неравенства системы).

Как видим получился квадрат (1. все углы равны 90, т.к. границы задают две пары параллельных прямых, причем коэффициенты при x в парах уравнений этих прямых равны 1 и -1; 2. Все стороны равны в силу симметрии фигуры относительно осей координат) со стороной $sqrt{1^2+1^2}=sqrt2$

Тогда площадь равна $(sqrt2)^2=2$

Фигура F задаётся на координатной плоскости неравенством . Чему равна площадь фигуры F?

Ответ

Фигура F задаётся на координатной плоскости неравенством $2pi -arcsin(y-x)-arccos(x+y)geq 0$ . Чему равна площадь фигуры F?