Решите показательное неравенство с логарифмом.
$displaystyle 5^{log_x2}cdot log_2x+5^{log_2x}cdot log_x2le 10$

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

$5^{log_x2}cdot log_2x+5^{log_2x}cdot log_x2-10leq0$

Рассмотрим функцию: $f(x)=5^{log_x2}cdot log_2x+5^{log_2x}cdot log_x2-10$

Область определения функции: D(f)= $displaystyle left { {{xne1} atop {x>0}} right.$

Если 0 < x < 1, то выражение, стоящее слева, будет всегда отрицательным, выполнено.

Если x > 1, то $5^{log_x2}cdot log_2x>0$ и $5^{log_2x}cdot log_x2>0$ применимо неравенство Коши (или неравенство о среднем): $2sqrt{5^{log_x2}cdot log_2xcdot 5^{log_2x}cdot log_x2}leq 5^{log_x2}cdot log_2x+5^{log_2x}cdot log_x2$

При этом равенство достигается при $log_2x=log_x2$ откуда

$log_2^2x=1\ \ log_2x=1\ \ x=2$

Объединяя решения, получим x ∈ (0;1) ∪ {2}.