В прямоугольном треугольнике АВС (угол В-прямой) на гипотенузе взяли точку D так, что BD=DC. Докажите, что BD=DA.

Обозначим угол DBA = a

Т.к. BD=DA, то треугольник BDA равнобедренный и угол DAB = DBA = a.

Т.к. сумма углов треугольника ABD равна 180, то угол BDA = 180 - a - a = 180 - 2a

Т.к. углы BDA и BDC - смежные, то BDC = 180 - BDA = 2a

Т.к. ABC - прямой угол, то DBC = 90 - ABD = 90 - a

Т.к. сумма углов треугольника BDC равна 180, то угол BCD = 180 - CBD - BDC = 180 - (90 - a) - 2a = 90 -a

Т.к. углы CBD и BCD равны, то треугольник BCD равносторонний и стороны BD и CD равны.

Диаметр окружности описанной вокруг прямоугольного треугольника равен его гипотенузе. ВС=CD ⇒точки В и С равноудалены  - радиусы описанной окружности. ⇒ AD радиус той-же окружности и BD=DA.