Бассейн наполняют 3 трубы. Первая и вторая трубы, работая одновременно, могут наполнить этот бассейн за 10,8 ч, вторая и третья – за 4 и 5/7 часа. За сколько часов каждая из труб, действуя отдельно, может наполнить бассейн, если известно, что первая труба наполняет его на 13.5 ч скорее третьей?

Ответ

Автор - as11111

Ответ: Первая труба наполнит бассейн за 19.34 часа, вторая за 24.45 часа и третья за 5.84 часа

Пошаговое объяснение:

Введем понятие производительности трубы - какую часть от всего бассейна она наполнит за 1 час. Тогда у первой трубы производительность p1, у второй p2 и у третьей p3.

Получим три уравнения вытекающие из условий задачи:

$frac{1}{p_1+p_2}=10frac{4}{5}\frac{1}{p_2+p_3}=4frac{5}{7}\frac{1}{p_1}-frac{1}{p_3}=13frac{1}{2}$

В первых двух решим пропорцию, а в третьем приведем к общему знаменателю:

$p_1+p_2=frac{5}{54}\p_2+p_3=frac{7}{33}\frac{p_3-p_1}{p_1*p_3}=13frac{1}{2}$

Из второго уравнения вычтем первое, а в третьем выразим произведение производительностей первой и третьей трубы:

$p_3-p_1=frac{7}{33}-frac{5}{54}=frac{7*18-5*11}{11*54}=frac{71}{594}\p_1*p_3=frac{2}{27}(p_3-p_1)=frac{2}{27}*frac{71}{594}=frac{142}{27*594}$

В первом выразим производительность третьей через первую и подставим во второе уравнение:

$p_3=p_1+frac{71}{594}\p_1*p_3=frac{142}{27*594}\p_1*(p_1+frac{71}{594})-frac{142}{27*594}=0\p^2_1+frac{71}{594}*p_1-frac{142}{27*594}=0$

Решим последнее квадратное уравнение:

$p^2_1+frac{71}{594}*p_1-frac{142}{27*594}=0\D=(frac{71}{594})^2+frac{4*142}{27*594}=frac{71}{594}(frac{71}{594}+frac{8}{27})=frac{71}{594}*frac{71+8*22}{594}=frac{71*247}{594^2}\sqrt{D}=frac{sqrt{71*247}}{594}\p_1=frac{-frac{71}{594}+frac{sqrt{71*247}}{594}}{2}=frac{sqrt{71*247}-71}{1188}$

При решении взяли дискриминант положительный, т.к. производительность не может быть отрицательной. Дальнейшее решение возможно только в приближенных числах:

$p_1=frac{sqrt{71*247}-71}{1188}approx0.0517$

$p_1+p_2=frac{5}{54}\p_2=frac{5}{54}-p_1approx0.0409\p_2+p_3=frac{7}{33}\p_3=frac{7}{33}-p_2approx0.1712$

По найденным производительностям найдем сколько времени понадобится каждой трубе для заполнения бассейна:

$t_1=frac{1}{p_1}=frac{1}{0.0517}=19.34\t_2=frac{1}{p_2}=frac{1}{0.0409}=24.45\t_3=frac{1}{p_3}=frac{1}{0.1712}=5.84$