Помогите решить пределы, пожалуйста

Ответ

Автор - Minsk00

Ответ:

$lim_{x to 4}frac{3sqrt{1+2x}-9}{sqrt{x}-2} =4$

$lim_{x to 0}frac{4sqrt[3]{8+3x+x^2}-8}{x+x^2}=1$

$lim_{n to infty} frac{1-10^n}{1+10^{n+1}}}=-0,1$

Пошаговое объяснение:

$lim_{x to 4}frac{3sqrt{1+2x}-9}{sqrt{x}-2} =left [ frac{0}{0} right ]=lim_{x to 4}frac{3(sqrt{1+2x}-3)cdot(sqrt{1+2x}+3)cdot(sqrt{x}+2)}{(sqrt{x}-2)cdot(sqrt{x}+2)cdot(sqrt{1+2x}+3)}=$

$=lim_{x to 4}frac{3(1+2x-9)cdot(sqrt{x}+2)}{(x-4)cdot(sqrt{1+2x}+3)}=lim_{x to 4}frac{3(2x-8)cdot(sqrt{x}+2)}{(x-4)cdot(sqrt{1+2x}+3)}=lim_{x to 4}frac{6(x-4)cdot(sqrt{x}+2)}{(x-4)cdot(sqrt{1+2x}+3)}=$

$=lim_{x to 4}frac{6(sqrt{x}+2)}{sqrt{1+2x}+3}=frac{6(sqrt{4}+2)}{sqrt{1+2cdot4}+3}=frac{6(2+2)}{sqrt{9}+3}=frac{6cdot4}{3+3}=frac{24}{6}=4$

$lim_{x to 0}frac{4sqrt[3]{8+3x+x^2}-8}{x+x^2}=left [ frac{0}{0} right ]=lim_{x to 0}frac{4(sqrt[3]{8+3x+x^2}-2)}{x+x^2}=$

$=lim_{x to 0}frac{4(sqrt[3]{8+3x+x^2}-2)cdot(sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2sqrt[3]{8+3x+x^2}+4) }{(x+x^2)cdot(sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=lim_{x to 0}frac{4(8+3x+x^2-8)}{(x+x^2)cdot(sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=lim_{x to 0}frac{4(3x+x^2)}{(x+x^2)cdot(sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=lim_{x to 0}frac{4x(3+x)}{x(1+x)cdot(sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=lim_{x to 0}frac{4(3+x)}{(1+x)cdot(sqrt[3]{(8+3x+x^2)^2}+2sqrt[3]{8+3x+x^2}+4)}=$

$=frac{4(3+0)}{(1+0)cdot(sqrt[3]{(8+3cdot0+0^2)^2}+2sqrt[3]{8+3cdot0+0^2}+4)}=frac{4cdot3}{1cdot(sqrt[3]{8^2}+2sqrt[3]{8}+4)}=frac{12}{4+4+4}=1$

$lim_{n to infty} frac{1-10^n}{1+10^{n+1}}}=lim_{n to infty} frac{10^ncdot(frac{1}{10^n}-1)}{10^ncdot(frac{1}{10^n} +10)}}=lim_{n to infty} frac{frac{1}{10^n}-1}{frac{1}{10^n} +10}}=frac{-1}{10}=-0,1$