АК должно проходить через точку Н
SH -высота пирамиды, Так как все
грани наклонены под одинаковым углом к основанию, то Н- центр вписанной
окружности. Проведем SK перпендикулярно ВС. По теореме о трех
перпендикулярах НК тоже перпендикулярно ВС. Угол SKH - линейный угол
двугранного угла между боковой гранью и пл. основания и поэтому угол
SKH=60
НК одновременно будет радиусом вписанной окружности
треугольника АВС. Плоскость SHK перпендикулярна ВС и следовательно
грани SBC, поэтому шар будет касаться грани SВС в точке принадлежащей
SK.
Пусть центр шара - точка О
Сделаем выносной чертеж плоскости
SHK. ОМ перпендикулярно SK ОМ=OH=R. М - точка касания шара и боковой
грани. MO1 перпендикулярно SH. O1M это будет радиус окружности,
проходящей через точки касания. ОК является биссектрисой угла SKH=> угол OKH=30
Из треугольника ОНК: ОН/НК=tg30, HK=R*sqrt(3)
HK/SK=cos60
=> SK=2Rsqrt(3) (или катет против угла в 30 градусов) -апофема
бококвой грани найдена. Одновременно мы нашли и КМ=НК=R*sqrt(3). Значит
SM=R*sqrt(3)
А тогда из подобия треугольников SMO1 и SKH следует, что O1M=(1/2)HK=(R*sqrt(3))/2
Тогда длина окружности проходящей через точки касания равна 2*pi*(R*sqrt(3))/2...