Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения:

Ответ

Проверено экспертом

Автор - Senpai908

Используя метод математической индукции, докажите, что для любого натурального числа n истины утверждения: $(6^{2n-1}+1)~~vdots ~~7$

1) Базис индукции: n = 1

$6^{2cdot 1-1}+1=6+1=7~~vdots~~7$

2) Предположим что и при $n=k$ выражение $(6^{2k-1}+1)~~vdots~~7$

3) Индукционный переход: n = k + 1.

$6^{2(k+1)-1}+1=6^{2k+2-1}+1=36cdot 6^{2k-1}+1=36cdot 6^{2k-1}+36-35=\ \ \ =36Big(6^{2k-1}+1Big)-35$

Первое слагаемое делится на 7 по предположению (второй пункт), ну а второе слагаемое очевидно, что 35 : 7, значит и все выражение делится на 7. Следовательно, для всех натуральных n выражение $Big(6^{2n-1}+1Big)~~vdots~~7$