Докажите, что число является составным для р - нечетного .. 1^p + 2^p + . + p^p

Докажем, что сумма этих чисел делится на медиану слагаемых (с показателем степени 1). Для p = 1 это очевидно, но 1 - число не составное. Докажем, что в остальных случаях сумма чисел k^p и (2m - k)^p делится на m (где m - медиана со степенью 1).

k ≡ k (mod m)

2m - k ≡ (-k) (mod m)

k^p + (-k)^p ≡ 0 (mod m) (для нечётного p)

Собрав все числа (кроме медианы) в такие группы получаем, что сумма чисел в каждой из них делится на m. Это означает, что вся сумма делится на m. Так как m меньше m^p, то вся сумма больше m, следовательно, имеет не меньше трёх делителей, что означает, что число составное.