Даю 50 баллов.
Прямые, содержащие биссектрисы треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A1,B1,C1. Докажите что центр вписанной окружности треугольника ABC является ортоцентром треугольника A1B1C1.

Вершины △ABC разбивают описанную окружность на три дуги. Биссектрисы углов треугольника делят эти дуги пополам (два равных вписанных угла опираются на равные дуги), точки A1, B1, C1 - середины дуг.  

Вписанные углы ∠BB1C1, ∠BB1A1, ∠A1 опираются на половины дуг AB, BC, AC, следовательно сумма вписанных углов равна четверти окружности, 90.  

∠BB1C1+∠BB1A1+∠A1 =∪AB/4+∪BC/4+∪AC/4 =360/4 =90

AA1 и B1C1 пересекаются в точке H. В △A1B1H сумма углов ∠A1 и ∠B1 равна 90, треугольник прямоугольный, AA1 и B1C1 пересекаются под прямым углом.  

Аналогично BB1⊥A1C1, CC1⊥A1B1. Биссектрисы △ABC являются высотами △A1B1C1. Центр вписанной окружности (пересечение биссектрис) △ABC является ортоцентром (пересечением высот) △A1B1C1.