Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость ряд

$sin frac{pi }{3}+ 2sinfrac{pi}{9} + 3sinfrac{pi}{27} +...$

Ответ

Автор - igorShap

Заметим, что ряд положительный. И правда, $a_n=nsindfrac{pi}{3^n}\ dfrac{pi}{3^n}<dfrac{pi}{3}:forall nin N =>nsin(0)=0<a_n<nsindfrac{pi}{3}$ , причем, т.к. $dfrac{pi}{3}$ находится в первой четверти, $dfrac{pi}{3^n}$ убывает, $lim_{n to infty} dfrac{pi}{3^n} =0$ , то аргументы синуса во всех членах ряда находятся в первой четверти. Тогда $sindfrac{pi}{3^n}>0=>nsindfrac{pi}{3^n}>0 :forall nin N$

$sum_{n=1}^infty nsindfrac{pi}{3^n}leq [sinxleq x]leq sum_{n=1}^infty dfrac{npi}{3^n}\ lim_{n to infty} sqrt[n]{dfrac{npi}{3^n}} =dfrac{1}{3}<1$

Тогда $sum_{n=1}^infty dfrac{npi}{3^n}$ сходится по признаку Коши.

Значит $sum_{n=1}^infty nsindfrac{pi}{3^n}$ сходится по признаку сравнения, а т.к. ряд положительный, сходится абсолютно.