На сторонах XY , YZ и ZX треугольника XYZ взяты соответственно точки K, L и M, причем XK:KY=3:1, YL:LZ=2:1, ZM:MX=3:2. В каком отношении отрезок KL делит отрезок YM считая от его вершины?

Ответ:

YР/РМ = 1/2. или YP/YM = 1/3.

Объяснение:

Когда в условии задачи даны отношения отрезков, пробуем применить теорему Менелая.

В треугольнике XYZ с секущей KL (продолжим ее до пересечения с продолжением стороны XZ в точке Т) имеем соотношение:

(XK/KY)·(YL/LZ)·(ZT/TX) = 1. Подставим известные значения:

(3/1)·(2/1)·(ZT/TX) = 1.  =>  ZT/TX = 1/6. Учитывая, что XZ = 5 частей, имеем: TZ = 1 часть.

В треугольнике XYM с секущей KT имеем соотнощение:

(XK/KY)·(YР/РМ)·(МT/TX) = 1. Подставим известные значения:

(3/1)·(YР/РМ)·(4/6) = 1.  =>  YР/РМ = 1/2. или YP/YM = 1/3.

Вариант без теоремы Менелая:

Вспомним, что площади треугольников  с равным углом относятся как произведения сторон, содержащих этот угол.

Пусть коэффициент пропорциональности равен 1, то есть примем отрезки сторон равными их значениям в отношениях.

Тогда , если Sxyz = S, то

Skyl = (1·2/(4·3))·S = (1/6)·S.

Smxy = (2·4/(5·4))·S = (2/5)·S.

Smzy = (3·3/(3·5))·S = (3/5)·S.

Skyp = (1·YP/(4·YM)·Smxy = (1/10)·(YP/YM)·S.

Spyl = (2·YP/(3·YM)·Smzy = (2/5)·(YP/YM)·S.

Skyl = Skyp+Spyl  или (1/6)·S = (1/10)·(YP/YM)·S +  (2/5)·(YP/YM)·S.  =>

YP/YM = (1/6):(5/10) = 1/3 или YP/PM = 1/2.