По контуру квадратной трассы по часовой стрелке едут велосипед и две машины, скорости которых постоянны и различны, при этом велосипед медленнее машин. Найдите скорость велосипеда (в км/ч), если скорости машин равны 55 км/ч и 165 км/ч, а все обгоны происходят только в вершинах квадрата.

Пусть сторона квадрата равна a; В начальный момент времени все находятся в одной вершине квадрата.

Заметим, что скорость второй машины ровно в три раза превосходит скорость первой. Тогда первый обгон между двумя машинами случится тогда, когда первая проедет 2a (вторая проедет 3×2a=6a); Поэтому все обгоны между машинами будут в вершинах.

Пусть скорость велосипеда равна v; (i); Аналогично

(ii); (*); Также (**); Переставляя элементы в (i) получим равносильное утверждение: ;

Рассмотрим  числа n и n+4: ; Рассмотрим все нечетные n; Тогда n и n+4 взаимно просты, а значит ; Получаем числа n∈{1,7,51}; Рассмотрим числа n такие, что

; Тогда ; Получаем числа n∈{6,18,106}; Осталось рассмотреть числа n, такие, что

; Отсюда  ;

Тогда n∈{16,40,216}; Всего: n∈{1,6,7,16,18,40,51,106,216};

;

Условию (ii) удовлетворяет только число 33;

Ответ: 33 км/ч