На доске записаны 2017 двоек, 2018 троек и 2019 четверок. Разрешается стереть любые две цифры и написать вместо них третью: вместо 2 и 3 – 4, вместо 3 и 4 – 2, вместо 2 и 4 – 3. После многократного повторения этих операций на доске осталась одна цифра. Какая?


очень подробненько, пож)

Ответ: 3

Пошаговое объяснение:

Обозначим сумму всех чисел через S. Проверим как она изменяется после стирания пары чисел:

Если стираем 2 и 3 и записываем 4, то сумма становится S - 1.

Если стираем 3 и 4 и записываем 2, то сумма становится S - 5.

Если стираем 2 и 4 и записываем 3, то сумма становится S - 3.

Сумма меняется по-разному, но одно неизменно - после каждого стирания сумма меняет свою четность: если была четной, то после вычитания любого нечетного числа (1, 3, 5) становится нечетной и наоборот, если была нечетной, то становится четной.

Посчитаем четность нашей суммы в начале, до всех стираний:

S = 2017 * 2 + 2018 * 3 + 2019 * 4 = 18164

Т.е. в начале сумма всех чисел четная.

Посчитаем, сколько стираний мы проведем до того, как останется одно число.

В начале чисел было N = 2017 + 2018 + 2019 = 6054, а в конце останется 1. Значит мы проведем 6053 стирания. Следовательно в конце, когда останется одно число, сумма наших чисел будет нечетной.

Единственное нечетное число в нашем наборе 3, значит при любом порядке стирания в конце всегда останется цифра 3.