Исследовать методами дифференциального исчисления функцию и построить ее график
$y=frac{4x}{4+x^{2} }$

Ответ

Автор - xxxeol

Пошаговое объяснение:

ДАНО: y= 4*x/(x²+4)

1. Область определения: Непрерывная гладкая.

D(y)= R = (-∞;+∞).

2. Нули функции, пересечение с осью ОХ.

y = 4*x/(x²+4) = 0 . Нуль функции: x = 0.

3. Пересечение с осью ОУ: Y(0) = 0.

4. Интервалы знакопостоянства.

Отрицательна: Y(x)<0 - X∈(-∞;0).

Положительна: Y(x)>0 - X∈(0;+∞;)

5. Проверка на чётность.

Функция нечётная: Y(-x) = -Y(x).

6. Поиск экстремумов по первой производной.

Y'(x) = (16-4*x²)/(x²+4)² = 0 Решаем в числителе? 4*x² = 16,

x1 = -2 x2 = 2

7. Локальные экстремумы:

Ymin(-2 = - 1, Ymax(2) = 1.

8. Интервалы монотонности.

Убывает: x∈(-∞;-2)∪(2;+∞)

Возрастает: x∈[-2;2]

9. Поиск перегибов по второй производной.

Y"(x) = 8*x*(x²-12)/(x²+4)³ = 0.

Точки перегиба: при х1 = -2√3 (≈-3,5), х2= 0, х3 = 2√3 (≈3,5) 11. Вогнутая - "ложка"- X∈(-2√3;0)∪(2√3;+∞),

выпуклая - "горка" - X∈(-∞;-2√3)∪(0;2√3);

12. Наклонная асимптота.

k = lim(+∞) Y(x)/x = 4/(x²+4) = 0

b = lim(+∞) Y(x) = 0

Горизонтальная асимптота: Y = 0.

13. Область значений. E(y) - y∈[-1;1].

14. График функции на рисунке в приложении.

Графики производных - излишества для демонстрации функций.