Решите неравенствоtexlog frac16 (10 - x) + log frac16(x - 3) geqslant - 1/tex

Ответ

Проверено экспертом

Автор - csharp

Найдём ОДЗ логарифмов:

$ttdisplaystyleleft{{{10-x>0}atop{x-3> 0}}right.~~~~~~~~~~~~left { {{x < 10} atop {x > 3}} right. \\\xin(3; 10)$

Для начала преобразуем каждое из выражений левой части, но сначала кое-что обсудим: мы можем обойтись и без этого вполне. Мы можем по свойству логарифмов преобразования суммы в произведение свести к логарифму по основанию 1/6. Но при раскрытии логарифмов с обеих сторон мы в любом случае сменим знак (так как при раскрытии логарифмов применяется неравенство, что если основание логарифма меньше единицы, то знак неравенства изменится на противоположный), как сделали это, приведя логарифмы к целому, не дробному основанию.

$ttdisplaystyle log_{displaystylefrac{1}{6}}(10 - x)=log_{displaystyle 6^{-1}}(10 - x)=-log_{displaystyle6}(10 - x)\\\log_{displaystylefrac{1}{6}}(x - 3)=log_{displaystyle 6^{-1}}(x - 3)=-log_{displaystyle6}(x - 3)\\\$

Затем сложим:

$ttdisplaystyle-log_{displaystyle6}(10 - x) + (-log_{displaystyle6}(x - 3))implies\\\-log_{displaystyle6}(10 - x) - log_{displaystyle6}(x - 3)implies\\\-log_{displaystyle6}((10 - x)cdot(x - 3))implies\\\-log_{displaystyle6}(10x - 30 - x^{2} + 3x)implies\\\-log_{displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)$

Умножим обе части на -1:

$ttdisplaystyle log_{displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)leq 1\\\log_{displaystyle6}(-x^{2}+13x-30)leq 6^{1}\\\-x^{2}+13x-30 - 6 leq 0\\\x^{2}-13x+36geq 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~x^{2}-13x+36=0\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~D=b^{2}-4cdot acdot c = 169 -4cdot 1cdot 36=25=5^{2}\\~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x_{1,2}=frac{-bpmsqrt{D}}{2cdot a}=frac{13 pm 5}{2}=9;~4\\\(x - 9)cdot(x - 4)geq 0\\\xin(-infty; 4]cup[9; +infty)$

Объединим ОДЗ логарифмов и решение:

$ttdisplaystyle xin(3; 10)~~~~~~~~~~and~~~~~~~~~~xin(-infty; 4]cup[9; +infty)\\\xin(3; 4]cup[9;10)$

Решите неравенство
$log frac{1}{6} (10 - x) + log frac{1}{6}(x - 3) geqslant - 1$

Ответ

Проверено экспертом

Ответы и объяснения