У неправильного выпуклого четырёхугольника средние линии с длинами 10 и 20 пересекаются под углом 30 градусов. Найти площадь четырёхугольника.

Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма Вариньона (1).

Средние линии четырехугольника - диагонали параллелограмма Вариньона.

S(EFGH) = 1/2 *10*20 *sin30

Площадь параллелограмма Вариньона равна половине площади четырехугольника (2).

S(ABCD)= 2 S(EFGH) =100

1) EF - средняя линия ABC, EF||AC

Аналогично GH||AC, FG||BD, EH||BD

EFGH - параллелограмм

2) S(ABCD)= 1/2 AC*BD *sina

(a - угол между диагоналями)

E=a, EF=1/2 AC, EH=1/2 BD

S(EFGH) = EF*EH *sinE = 1/2 S(ABCD)