Автор - viktoriakislyak
Ответ:
sinx+sin3x+sin5x+sin7x=0
Сгруппируем слагаемые
(sinx+sin7x)+(sin3x+sin5x)=0
Теперь по формуле суммы синусов заменим произведением
2sinx(8x/2)*cos(-6x/2)+2sin(8x/2)*cos(-2x/2)=0
2sin4x*cos3x+2sin4x*cosx=0
Пояснения: Т.к. косинус-четная функция, то отрицательный угол можем заменить на положительный. Т.е. если было cos(-3х), то это cos3x, если было cos(-x), то это cosx.
Вынесем за скобку общий множитель
2sin4x(cos3x+cosx)=0
По формуле суммы косинусов, заменим произведением
2sin4x*2cos((3x+x)/2)*cos((3x-x)/2)=0
4sin4x*cos(4x/2)*cos(2x/2)=0
4sin4x*cos2x*cosx=0
Теперь пользуемся правилом: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому
sin4x=0 cos2x=0 cosx=0
Решаем по частным формулам
4x=П*k 2x=П/2 +П*k x=П/2 + П*k
x=П/4 *k x=П/4 + П/2 *k
Ответ: x=П/4 *k, x=П/4 + П/2 *k , x=П/2 + П*k